Разделы сайта

Метод наименьших квадратов Прони

Для работы с реальными сигналами используют метод наименьших квадратов [9,11], имеющий ряд преимуществ перед исходным:

количество комплексных экспонент p в выражении (2.1) меньше или равно половине отсчетов в сигнале (p £ N / 2);

данный метод минимизирует ошибку аппроксимации.

Выведем формулы для нахождения параметров методом наименьших квадратов Прони.

Так как p £ N / 2, то система уравнений (2.4) будет выглядеть по-другому:

(2.11)

(знак равенства поставлен условно, так как предполагается, что модель имеет ошибку аппроксимации, в дальнейшем мы это учтем).

Далее над системой уравнений (3.11) проделаем следующие действия:

-ю строку системы умножим на a0, 2-ю - на a1, 3-ю - на a2, и так до (p+1) строки. Сложив эти строки, получим первую строку новой системы уравнений.

-ю строку системы умножим на a0, 3-ю - на a1, 4-ю - на a2, и так до (p+1) строки. Сложив эти строки, получим вторую строку новой системы уравнений.

И так далее до p-ой строки, т.е. новая система уравнений будет выглядеть следующим образом:

Коэффициенты a0, a1, a2,…, ap необходимо выбрать так, чтобы выполнялось выражение (2.5) и a0 = 1, т.е. левая часть в каждой строке системы уравнений равна нулю, и систему уравнений можно переписать:

(2.12)

т.е. получилась система из (N-p) уравнений, аналогичная системе (2.6), состоящей из p уравнений.

Учитывая, что аппроксимация сигнала моделью (2.1) имеет погрешность, перепишем систему уравнений (2.12) с учетом ошибок:

Параметры am будем выбирать так, чтобы сумма квадратов ошибок

была минимальна. Для этого необходимо взять производную от r по каждому параметру am. и полученное выражение приравнять к нулю. Проделав это, получается система уравнений:

которую можно записать по другому

(2.13)

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты a0, a1, a2,…, ap.

Найденные значения a1, a2, a3,…, ap подставляем в уравнение (2.8), из которого находим z1, z2,…, zp.

Чтобы найти h1, h2,…, hp , изменим выражение (2.11) чтобы учесть ошибки аппроксимации:

где e1, e2,…, ep ошибки аппроксимации, которые необходимо минимизировать. Для этого необходимо взять производную от по каждому параметру hm, и полученное выражение приравнять к нулю. Получится новая система уравнений:

(2.14)

из которой можно найти h1, h2, …, hp.

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, перепишем последнее выражение:

,(2.15)

где

Алгоритм поиска параметров модели Прони по методу наименьших квадратов состоит из четырех этапов:

этап: составляется и решается система уравнений (2.13), из которой находятся коэффициенты a1, a2, a3,…, ap;

этап: найденные значения a1, a2, a3,…, ap подставляем в уравнение (2.8), из которого находим z1, z2,…, zp;

этап: найденные значения z1, z2,…, zp подставляем в систему линейных уравнений (2.15), решая которую находим h1, h2,…, h p;

этап: из выражений (2.10) найдем параметры модели: Ak, fk, jk, ak.

Блок-схема программы, реализующей алгоритм поиска параметров модели Прони по методу наименьших квадратов, представлен на рисунках 11-13.

Рис. 11 - Программа, вычисляющая спектр по методу наименьших квадратов Прони

Рис. 12 - Подпрограмма, вычисляющая

Рис. 13 - Подпрограмма, вычисляющая амплитуды и фазы, решая систему линейных уравнений (2.14)

Самое читаемое:

Операционный микроэлектронный усилитель
Современная радиоэлектронная аппаратура (РЭА) характеризуется тремя основными чертами: резким возрастанием количества компонентов и в связи с этим значительным уплотнением аппаратуры; мобильностью, так как РЭА устанавливается на объектах, движущихся с космическими скоростями; количественным ростом выпуска аппаратуры и, след ...