Разделы сайта

Исходный подход Прони

Метод Прони [1,9] аппроксимирует последовательность комплексных данных xi моделью, состоящей из p затухающих комплексных экспонент :

,(2.1)

где Ak - амплитуда, fk - частота, jk - начальная фаза, ak - коэффициент затухания и T - период дискретизации сигнала.

Запишем выражение (2.1) в виде:

, n = 1, 2, … 2p

где

, (2.2)

.(2.3)

Для всех n составим систему уравнений:

(2.4)

Для решения этой системы введем дополнительные коэффициенты a0, a1,,a2,…, ap, такие, что a0 = 1 и

,(2.5)

для k = 1, 2,…, p.

Далее над системой уравнений (2.4) проделаем следующие действия:

-ю строку системы умножим на a0, 2-ю - на a1, 3-ю - на a2, и так до (p+1) строки. Сложив эти строки, получим первую строку новой системы уравнений.

-ю строку системы умножим на a0, 3-ю - на a1, 4-ю - на a2, и так до (p+1) строки. Сложив эти строки, получим вторую строку новой системы уравнений.

И так далее до p-ой строки, т.е. новая система уравнений будет выглядеть следующим образом:

Учитывая (2.5), заметим, что левая часть в каждой строке системы уравнений равна нулю, т.е. систему уравнений можно переписать:

(2.6)

или учитывая, что a0 = 1, получим систему линейных уравнений, где неизвестными будут a1, a2, a3,…, ap:

(2.7)

Решив эту систему, найденные значения a1, a2, a3,…, ap подставим в выражение (2.5), из которого найдем zk, т.е. необходимо решить следующее уравнение n-ого порядка:

,(2.8)

где a0 = 1.

Далее, взяв первые p строк системы уравнений (2.4) и подставив в нее корни уравнения (2.8) z1, z2,…, zp , получим еще одну систему линейных уравнений:

(2.9)

из которой найдем значения h1, h2,…, h p

Алгоритм поиска параметров модели Прони по классическому подходу состоит из четырех этапов:

этап: составляется и решается система уравнений (2.7), из которой находятся коэффициенты a1, a2, a3,…, ap;

этап: найденные значения a1, a2, a3,…, ap подставляем в уравнение (2.8), из которого находим z1, z2,…, zp;

этап: найденные значения z1, z2,…, zp подставляем в систему линейных уравнений (2.9), решая которую находим h1, h2,…, h p;

этап: учитывая выражения (2.2) и (2.3), найдем параметры модели:

(2.10)

Описанный алгоритм раскладывает N комплексных отсчетов сигнала на N/2 комплексных затухающих экспоненциальных компонент.

Недостатками являются:

большая погрешность вычисления при N превышающих 200 отсчетов, так как приходится решать уравнение (2.8) 100-го и выше порядка, а также системы из 100 и более линейных уравнений (2.7) и (2.9);

Перейти на страницу: 1 2

Самое читаемое:

Корпоративный интранет-портал как инструмент повышения эффективности внутрикорпоративных коммуникаций на примере ОАО Авиакомпания ЮТэйр
В конце XX века благодаря появлению сети Интернет стали возникать новые, более современные каналы коммуникации. Тематические форумы, e-mail-рассылка, чаты, Интернет-конференции значительно расширили возможности передачи информации. Среди новых современных каналов коммуникации имеет место Интернет-сайт - официальное представительст ...