Разделы сайта

Численное интегрирование

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

(1.1)

где f(x) - непрерывная на отрезке [a; b] функция.

С геометрической точки зрения интеграл (1.1) при f(x) > 0 равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b (рис. 1.3). Другими словами, (1.1) равен площади заштрихованной фигуры на рис. 1.3

Рис. 1.3. Геометрический смысл определенного интеграла.

Вычислить определенный интеграл (1.1) можно с помощью аналитической формулы Ньютона-Лейбница (1.2):

(1.2)

где F(x) - первообразная функция для заданной функции f(x).

Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы в виду невозможности определения F(x). В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования. Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Основной принцип построения всех приближенных формул численного интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая y = f(x) заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы от которых можно вычислить. С геометрической точки зрения выполняется следующее: искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических фигур.

В процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка . Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Самое читаемое:

Разработка методики поверки датчика определения расстояния и датчика касания
Слово «робот» прочно вошло в современный обиход, современную речь и современную жизнь. Трудно представить себе мир XXI века без «умных» машин. Они проникли всюду: от заводских сборочных цехов и медицины до арсеналов наиболее развитых армий мира. Ну и, конечно, редкий фантастический фильм или роман не обходится без автономных думающ ...