Разделы сайта

Метод Гаусса с выбором главного элемента

Метод исключения Гаусса состоит из двух основных этапов:

1) прямой ход - основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это осуществляется последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. 2) обратный ход - с помощью найденной треугольной матрицы последователь но вычисляем искомые неизвестные. Рассмотрим применение метода Гаусса для системы 3-го порядка (прямой ход):

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (1)

а21х1+а22х2+а23х3=b2, (2)

а31х1+а32х2+а33х3=b3. (3)

Домножим уравнение (1) на ( - а21/а11 ) и прибавим его к уравнению (2). Затем, умножив уравнение (1) на ( - а31/а11 ) и прибавив результат к уравнению (3), получим равносильную систему уравнений вида

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (4) а¢22х2+а¢23х3=b¢2, (5)

а¢32х2+а¢33х3=b¢3, (6)

где

а¢22 = а22 - (а21/а11)* а12; ¢2 = b2 - (а21/а11)* b1;

а¢23 = а23 - (а21/а11)* а13; ¢3 = b3 - (а31/а11)* b1;

а¢32 = а32 - (а31/а11)* а12;

а¢33 = а33 - (а31/а11)* а13;

Домножим уравнение (5) на ( - а32/а22 ) и складываем его с уравнением (6)

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (7) а¢22х2+а¢23х3=b¢2, (8) а²33х3=b²3, (9)

где а²33 = а¢33 - (а¢32/а¢22)* а¢23;²3 = b¢3 - (а¢32/а¢22)* b¢2;

Мы привели матрицу системы к треугольному виду. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения (9) уравнения системы:

х3 = b²3/a²33;

Используя это значение, можно найти х2 из (8) уравнения, а затем х1 из (7):

х2 = 1/a22*(b2 - a23x3), х1 = 1/a11*(b1 - a12x2 - a13x3);

Метод Гаусса с выбором главного элемента заключается в том, что перед началом исключения переменных необходимо привести матрицу к такому виду, чтобы максимальный элемент столбца попадал на главную диагональ. Эту процедуру необходимо выполнять на каждом шаге.

Самое читаемое:

Исследования свойств гексагональных кодирующих коллиматоров для однофотонной эмиссионной томографии
Цель работы: Численно исследовать аппаратные функции кодирующих коллиматоров, построенных на базе псевдослучайных последовательностей, расширенных псевдослучайных последовательностей, троичных последовательностей, расширенных троичных последовательностей. Оптимизировать скорость расчета аппаратных функций гексагональных кодирующих ...